schwebenden Temperatur oder nach der Aristoxener Meinung mit der vollkommen reinen Stimmung, wie sie uns der Quintenzirkel giebt, zu begnügen. Worin haben aber solche wiederholte Versuche der Claviatur eine brauchbare Stimmung zu ertheilen ihren Grund, wenn es nach den Aristoxenern so leicht ist, die vollkommen reine zu erhalten! Wozu ein gis und as, ein cis und des, e und es (über den Unterschied von e und E, h und H schweigt Prätorius), wenn zwei solcher Töne in völliger Uebereinstimmung Eins sind, nur unter verschiedener Bedeutung mit anderem Namen! Der Herausgeber jener Aufsätze der neuen Aristoxener, Herr v. Kiesewetter, hat später noch einige Beiträge in dieser Angelegenheit folgen lassen einen Artikel in der musikalischen Zeitschrift Caecilia B. XXVI, Heft 103, »Die sogenannte vollkommen gleichschwebende Temperatur etc.<; einen andern »>Ueber die Octave des Pythagoras, ein ergänzender Nachtrag zum Beschluss der Sammlung zerstreuter Aufsätze der neuen Aristoxener« (Linz 1848). 18 Im ersten Aufsatz spricht Kiesewetter über ein unter den Instrumentenmachern gebräuchliches Verfahren bei Eintheilung des Griffbretes auf Instrumenten mit Bünden. Dies Verfahren besteht darin, dass die Länge des Griff bretes zuerst in 18 gleiche Theile getheilt wird; der erste Theil an der Wirbelseite erhält den ersten Bund. Die übrige Länge, 17 des Ganzen, wird wieder in 18 Theile getheilt, der erste dieser Theile erhält den zweiten Bund. Das Uebrige abermals in 18 Theile getheilt, erhält der erste Theil den dritten Bund und so fortgegangen bis zur zwölften Wiederholung dieser Theilungsart, welche mit dem zwölften Bund genau mit der Hälfte oder mit der Octav der Saite zusammentreffen soll. Von den hierdurch abgetheilten Stufen aber wird gesagt, dass sie vollkommen den gleichschwebend temperirten, oder nach Ansicht der Aristoxener den reinen, natürlich gegebenen Stufen der 12 Halbtöne entsprächen. Wenn durch diese Theilungsweise ein Verfahren gefunden wäre auf die Stufenbestimmung zu kommen, welche wir vorhin mit der Reihe 2o, 21, 21, 2... 2 ausgedrückt haben, in welcher die Theilung der Octav in zwölf gleichweit von einander abstehende Stufen enthalten ist, so würde das immer an sich von Interesse sein, wenn auch ausser dem Guitarrengriff bret wohl eben so wenig nach dieser Regel als nach der gleichschwebenden Progressionsreihe gestimmt werden möchte. Wir dürfen aber doch nicht ununtersucht lassen, ob jene Construction der zwölfstufigen Leiter mit den Stufen, wie sie die Potenzenreihe ergiebt, gleiches Resultat liefert. Die Länge der Scala oder der ganzen Saite wird in 18 Theile ge 17 theilt, am ersten Theile der erste Bund befestigt; der Saite die wir in 18 C stimmen wollen, geben cis und des; der nächste Bund nach schon genannter Theilung bestimmt D, der folgende dis und es u. s. f. Die Progressionsreihe für diese Theilung aber ist folgende: , 189 = , 17o 18° 17 172 173 174 175 176 177 178 179 1710 1711 1712 1, 18' 182 183 1859 186 187 188 189 1810 1811 1812 C', cis, d, dis-es, e, f, fis-ges, g, gis-as, a, b, h, c. Wenn wir für das erste Glied der Reihe, 1, den Ausdruck setzen und die ganze Reihe mit 18 multipliziren was ohne ihr Steigerungsverhältniss zu verändern geschieht, so erhalten wir sie in dieser Gestalt: 171 172 173 174 175 176 177 178 179 1710 1711 1712 18-i 1809 18'' 18' 1839 1849 1859 186 187 1889 189 18119 c, cis, d, dis, e, f, fis, 9, gis, a, b, h, c, denn wir können die Reihe uns in der Bestimmung denken, dass die ganze Länge 18 Theile sei, so wird der erste Bund 17 solcher Theile 170 18109 übrig lassen; dann ist 18 = c, 17 cis das nächste Glied aber 178 182 das folgende =dis, und so ferner bis = C. 1712 1811 Die erste Frage aber ist, ehe wir andere Momente der Progression 1712 17o untersuchen, ob das letzte Glied 18 genau die Hälfte des ersten 18-1 beträgt, wie versichert wird und wie es zutreffen müsste, wenn jenes die reine Octav zum ersten bilden sollte. und die Zahl zu diesem letzten Logarithmen ist 9,0654 . . . d. h. um ein 18 ... bedeutendes Bruchtheil gröfser als = 9. Wie es eben auch unmög lich ist, dass irgend ein Potenzmoment der Zahl 17 mit einem Potenzmoment der Zahl 18 combinirt je ein rein zweitheiliges, ein Octav - Verhältniss könnte resultiren lassen. Wenn eine solche Theilung für das Griffbret einer Guitarre hinlänglich rein geschienen hat, so ist sie desshalb ohne nähere Untersuchung dessen, was sie ergiebt, noch nicht sogleich für einen wissenschaftlichen Fund, für den Stein der Weisen zu halten, für die Quadratur des Quintenzirkels. Wenn die Aristoxener nicht rechnen wollen, so dürfen sie auch nicht messen, denn es handelt sich hierbei ebenso um bestimmte Gröfsenverhältnisse, nur dass die Zahl sie genau, das technische Maafs sie ungenau und nie evident ergiebt. Dass man, eine Linie mechanisch mit dem Zirkel theilend, vielleicht noch nicht einmal mit der gröfsten Geschicklichkeit dabei verfahrend, dies Maafs 9,0654 für die Hälfte von 18,000 nehmen kann, möchte verzeihlich sein; es ist aber nicht zu billigen, wenn man mit solchen unzuverlässigen Beobachtungen sich auf wissenschaftlichen Boden begiebt und aus ihnen neue Wahrheiten den alten besser begründeten gegenüber deduciren will. Die Theilung nach der angezeigten Weise ist, bis auf die ungenaue Octav, die in keiner Stimmung vorkommen darf, zur praktischen Ausübung für eine der gleichschwebenden Temperatur annähernde Intonation ganz brauchbar und kann eben jenen Fabrikanten von Instrumenten mit Bünden gewiss recht willkommen sein. Für die Theorie ist sie ohne alle Bedeutung, das Geheimniss einer Wahrheit ist in ihr nicht verborgen. Es würde sich wohl eine Theilmaschine, allerdings nicht anders als in höchst complicirtem Mechanismus, erdenken lassen, um das Maafs für die temperirten Intervalle mechanisch zu construiren, wenn überhaupt sehr viel daran gelegen wäre; mit dem gewöhnlichen Zirkel aber, und dem Auftragen von siebzehn Achtzehntheilen ist die Temperatur nicht herzustellen. Glücklicherweise haben wir die Kenntniss des Richtigen und können das Approximative daran prüfen. Es mögen aber ausser jener Octav, die zu 18 sich als 9 verhalten soll, sich aber als 9,0654 mithin eben nicht als Octav zum Grundtone verhält, noch einige Intervalle nach dem Ergebniss dieser Messung untersucht und mit dem der gleichschwebenden Temperatur zusammengestellt werden. Wir wollen nicht immer wiederholen, dass das was wir die gleichschwebende Temperatur nennen, die Theilung der Octav in zwölf gleiche Stufen, von den Aristoxenern die reine Stimmung genannt wird. Der Ton cis, als Terzton der Unterdominantterz a, zu C also im Verhältniss 24 25 ist, C als 1,000 gesetzt 1,041. : = Der Ton Des im Verhältniss 15: 16 zu Cals 1,000 = 1,066. 12 = gliede √2 = 1,059 . . nach der 18theiligen Bestimmung für Beides ist der Ton 1,058.. Nach dieser Theilung verhält sich der höhere Ton zu dem tiefern, die erste für cis und des gesetzte Stufe zum Ausgangstone c, wie 17: 18; ein ungefähr mittleres Verhältniss zwischen 15: 16 und 24 : 25, näher aber dem weiteren 15: 16 als dem engeren 24: 25. Denn es ist zu übersichtlicherem Ausdruck gebracht nach Saitenlängen cis 384, des 375, der 18theilig temperirte Ton für Beides = 377. = Die Terz e ist gegen den Grundton Cnach Schwingungszahl = 1,250. Die gleichschwebend temperirte Terz nach dem 5 ten Glied der Reihe 12 = √ 21 = 1,259 . . Das Verhältniss der Saitenlängen ist das umgekehrte. Nach der 18 theiligen Temperatur ist das e in Saitenlänge 14,321 und müsste nach reiner Stimmung 14,400 sein. Das 18theilig temperirte e ist mithin, da es schon in der dritten Decimalstelle, das gleichschwebende erst in der vierten vom reinen differirt, noch höher, an Schärfe noch mehr abweichend von der Reinheit als das gleichschwebend temperirte. 2 3 Die Quint G hat vom Grundton Saitenlänge, in Schwingungszahl, Czu 1,000 gesetzt, 1,500. Die gleichschwebend temperirte Quint 1,498; Differenz 0,002. Auf der 18theiligen Saite erhält die reine Quint 12 Theile. Die 18theilig temperirte hat deren 12,02, ist aber damit, wiewohl auch nur um 2 in der vierten Stelle different, gegen die kleiner angesetzte Vergleichungszahl doch in gröfserer Differenz tiefer als jene: denn es ist zwischen 1202 und 1200 geometrisch ein gröfserer Unterschied als zwischen 1500 und 1498. Es würden aber alle diese Stufen immer eine brauchbare Intonation gewähren können, wenn nur die Octav nicht von der Reinheit differirte. Dies Intervall kann nie und nirgends eine Temperatur erleiden, es ist das Intervall der Einheit, die Gleichheit selbst. Ueber Kiesewetters letzte Schrift mit dem Titel » Die Octave des Pythagoras, ein ergänzender Nachtrag der Sammlung der zerstreuten Aufsätze der neuen Aristoxener «<, ist noch ein Wort zu sagen. In den früheren Aufsätzen war die Richtigkeit des Quintverhältnisses als 2 : 3 und damit natürlich auch die Richtigkeit des Quartverhältnisses 3 4 in Abrede gestellt, und zwar aus dem Grunde, weil zwölf solcher Quinten and Quarten nicht in den Ausgangston führen; ebenso der Unterschied der Quart und Quint, der Ganzton sechsmal ge 8 9' nommen, die Octav nicht genau ausfülle, sondern sie etwas überschreite. Von dem Verhältniss der Octav, als 1: 2, ob es falsch oder richtig sei, ist dort nicht die Rede gewesen. In der ersten Hälfte dieser letzten Schrift wird nur das früher Gesagte recapitulirt. Der Autor kommt auch wieder auf die 18theilige Temperatur zu sprechen, wobei zuerst immer noch gesagt wird, dass der zwölfte Punkt einer solchen Theilung genau in die Mitte der ganzen Saitenlänge falle und die reine Octav hören lasse. Hier ist dem Verfasser aber ein Freund mit Berechnung entgegengekommen und hat gefunden, dass der zwölfte Punkt nach dieser Theilung die Mitte nicht vollkommen erreiche«; es mangele ein Bruchtheilchen zwar nur, das aber » wie klein es an und für sich auch sein mag, in der Ausführung dem feingebildeten Ohre schon fühlbar sein dürfte.«< Nachdem die Freunde fest in der Ueberzeugung geworden sind, dass die Octav nicht in der Mitte oder Hälfte der Saite liege, unternehmen sie geregelte Versuche das genaue Maafs der Octav zu finden. Sie lassen ein grofses Monochord fertigen mit geeigneter Scala und finden nach wiederholten Untersuchungen den Octavpunkt um ein 144-Theil der Länge von der Hälfte abweichend. Es ist hier, wie öfter in diesen Schriften, wenn von Zahlenbestimmungen die Rede ist, einige Unklarheit des Ausdrucks zu finden. Schon dass es bei der Wahrnehmung des Freundes hiess, der zwölfte Punkt der 18theiligen Scala erreicht die Mitte nicht ganz, ist ungehörig ausgedrückt, da dieser Punkt die Mitte überschreitet, wie die Berechnung 18 = 9,0654..> 9, klar ergiebt. Hier wird ferner gesagt » um dieses 144 - Theil war die Octav zu kurz geschätzt und müsste so ausgeübt zu tief geklungen haben. Den Abgang hat unsere obere, zunächst zum Klange vorbehaltene Saitenhälfte von dem Ihrigen mit Abtretung von 3"" (4") ergänzen müssen. Es versteht sich dass, wenn sie ihrerseits zum Klang die Reihe trifft, sie sich für ihre erlittene Verkürzung in demselben Verhältniss schadlos halten und wenn sie eine Octave zu liefern hat, auch den ihr gebührenden Zuschuss eben von daher haben wird. « 1712 Das ist alles nicht genau verständlich. Die obere zunächst zum Klange vorbehaltene Saitenhälfte hat 3"" an die untere abgetreten, ist um 3"" verkürzt, wird aber, wenn sie ihrerseits zum Klange die Reihe trifft, sich in demselben Verhältniss wieder verlängern müssen. Sie war aber schon bei der Verkürzung als der klingende Theil angenommen. Es würde nicht ganz leicht sein aus diesen Worten zu finden was der Autor eigentlich |